排序与搜索

排序算法（英语：Sorting algorithm）是一种能将一串数据依照特定顺序进行排列的一种算法。

排序算法的稳定性

稳定性：稳定排序算法会让原本有相等键值的纪录维持相对次序。也就是如果一个排序算法是稳定的，当有两个相等键值的纪录R和S，且在原本的列表中R出现在S之前，在排序过的列表中R也将会是在S之前。

当相等的元素是无法分辨的，比如像是整数，稳定性并不是一个问题。然而，假设以下的数对将要以他们的第一个数字来排序。

(4, 1) (3, 1) (3, 7)（5, 6） 在这个状况下，有可能产生两种不同的结果，一个是让相等键值的纪录维持相对的次序，而另外一个则没有：

(3, 1) (3, 7) (4, 1) (5, 6) （维持次序） (3, 7) (3, 1) (4, 1) (5, 6) （次序被改变） 不稳定排序算法可能会在相等的键值中改变纪录的相对次序，但是稳定排序算法从来不会如此。不稳定排序算法可以被特别地实现为稳定。作这件事情的一个方式是人工扩充键值的比较，如此在其他方面相同键值的两个对象间之比较，（比如上面的比较中加入第二个标准：第二个键值的大小）就会被决定使用在原先数据次序中的条目，当作一个同分决赛。然而，要记住这种次序通常牵涉到额外的空间负担。

6.1 冒泡排序

冒泡排序（英语：Bubble Sort）是一种简单的排序算法。它重复地遍历要排序的数列，一次比较两个元素，如果他们的顺序错误就把他们交换过来。遍历数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。

冒泡排序算法的运作如下：

• 比较相邻的元素。如果第一个比第二个大（升序），就交换他们两个。
• 对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对。这步做完后，最后的元素会是最大的数。
• 针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个。
• 持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤，直到没有任何一对数字需要比较。

冒泡排序的分析

交换过程图示(第一次)：

那么我们需要进行n-1次冒泡过程，每次对应的比较次数如下图所示：

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Spyder Editor

This is a temporary script file.
"""
#使用顺序表进行实现要简单许多
#列表的长度len(list)是n,最后一个元素的索引是n-1,起始索引是0


def bubble_sort(alist):  #输出的变量是需要排序的列表
    # j表示每次遍历需要比较的次数，是逐渐减小的,一直减小到1,range(0,n)只会产生0-(n-1),反过来同理
    for j in range(len(alist)-1,0,-1):   #执行n-1次
        #使用i做游标进行两两比较交换数据
        for i in range(j):   #第一次的时候游标到索引为n-2的位置上,跟n-1的位置进行比较交换就可以了
            if alist[i] > alist[i+1]:
                alist[i], alist[i+1] = alist[i+1], alist[i]  #python特有的交换写法
            print(alist)

li = [1,2,3,0,4,5,6,7,8]
print("需要排序的列表: ",li)
bubble_sort(li)
print("排序完成的列表: ",li)

执行的结果:

需要排序的列表:  [1, 2, 3, 0, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 3, 0, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 3, 0, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
排序完成的列表:  [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

时间复杂度

• 最优时间复杂度：O(n) （表示遍历一次发现没有任何可以交换的元素，排序结束。）
• 最坏时间复杂度：O(n²)
• 稳定性：稳定

冒泡排序的演示

效果： 改进的冒泡排序的程序,排序完成就停止,不再继续遍历:

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Spyder Editor

This is a temporary script file.
"""
#使用顺序表进行实现要简单许多
#列表的长度len(list)是n,最后一个元素的索引是n-1,起始索引是0


def bubble_sort(alist):  #输出的变量是需要排序的列表
    # j表示每次遍历需要比较的次数，是逐渐减小的,一直减小到1,range(0,n)只会产生0-(n-1),反过来同理
    for j in range(len(alist)-1,0,-1):   #执行n-1次
        #使用i做游标进行两两比较交换数据
        count=0 #用来记录每一次内层循环的两两交换执行了多少次,如果执行完内层的循环计数为0,说明已经排序完成,就不用再继续排序了,降低了时间复杂度
        for i in range(j):   #第一次的时候游标到索引为n-2的位置上,跟n-1的位置进行比较交换就可以了
            if alist[i] > alist[i+1]:
                alist[i], alist[i+1] = alist[i+1], alist[i]  #python特有的交换写法

                count+=1
            print(alist)
        if count==0:
            return  #计数没有改变说明排序完成,终止循环

li = [1,2,3,0,4,5,6,7,8]
print("需要排序的列表: ",li)
bubble_sort(li)
print("排序完成的列表: ",li)

执行结果:

需要排序的列表:  [1, 2, 3, 0, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 3, 0, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 3, 0, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
排序完成的列表:  [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

可以看到这样排序的次数减少了

选择排序

选择排序（Selection sort）是一种简单直观的排序算法。它的工作原理如下。首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。以此类推，直到所有元素均排序完毕。

选择排序的主要优点与数据移动有关。如果某个元素位于正确的最终位置上，则它不会被移动。选择排序每次交换一对元素，它们当中至少有一个将被移到其最终位置上，因此对n个元素的表进行排序总共进行至多n-1次交换。在所有的完全依靠交换去移动元素的排序方法中，选择排序属于非常好的一种。

选择排序分析

排序过程：

红色表示当前最小值，黄色表示已排序序列，蓝色表示当前位置。

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Spyder Editor

This is a temporary script file.
"""
#选择最小值进行排序
def selection_sort(alist):
    n = len(alist)
    # 需要进行n-1次选择操作
    for i in range(n-1):  #j:0-(n-2),剩下的最后一个位置肯定是最大值了
        # 记录最小位置
        min_index = i   #加入是0
        # 从i+1位置到末尾选择出最小数据  #从1-剩余的元素选出最小的数据,每次都跟0这个位置的元素比较,最小值的索引的保存给mix_index
        for j in range(i+1, n):
            if alist[j] < alist[min_index]:
                min_index = j
        # 如果选择出的数据不在正确位置，进行交换
        if min_index != i:
            alist[i], alist[min_index] = alist[min_index], alist[i]

alist = [54,226,93,17,77,31,44,55,20]
print("需要排序的列表: ",alist)
selection_sort(alist)
print("选择排序完成: ",alist)

执行结果:

需要排序的列表:  [54, 226, 93, 17, 77, 31, 44, 55, 20]
选择排序完成:  [17, 20, 31, 44, 54, 55, 77, 93, 226]

时间复杂度

• 最优时间复杂度：O(n²)
• 最坏时间复杂度：O(n²)
• 稳定性：不稳定（考虑升序每次选择最大的情况）

选择排序演示

插入排序

插入排序（英语：Insertion Sort）是一种简单直观的排序算法。它的工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。插入排序在实现上，在从后向前扫描过程中，需要反复把已排序元素逐步向后挪位，为最新元素提供插入空间。

插入排序分析

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Spyder Editor

This is a temporary script file.
"""
def insert_sort(alist):
    # 从第二个位置，即下标为1的元素开始向前插入,默认索引为0的第一个元素是排好序的
    for i in range(1, len(alist)):   #取到索引为n-1的元素
        # 从第i个元素开始向前比较，如果小于前一个元素，交换位置
        for j in range(i, 0, -1):
            if alist[j] < alist[j-1]:
                alist[j], alist[j-1] = alist[j-1], alist[j]
            else:  #前面的都是有序的,因此如果这个元素比前一个大说明就不用继续往下排了
                break
alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
print("未排序的列表: ",alist)
insert_sort(alist)

print("插入排序好的列表: ",alist)

执行结果:

未排序的列表:  [54, 26, 93, 17, 77, 31, 44, 55, 20]
插入排序好的列表:  [17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]

时间复杂度

• 最优时间复杂度：O(n) （升序排列，序列已经处于升序状态）
• 最坏时间复杂度：O(n²)
• 稳定性：稳定

插入排序演示

希尔排序

希尔排序(Shell Sort)是插入排序的一种。也称缩小增量排序，是直接插入排序算法的一种更高效的改进版本。希尔排序是非稳定排序算法。该方法因DL．Shell于1959年提出而得名。 希尔排序是把记录按下标的一定增量分组，对每组使用直接插入排序算法排序；随着增量逐渐减少，每组包含的关键词越来越多，当增量减至1时，整个文件恰被分成一组，算法便终止。

希尔排序过程

希尔排序的基本思想是：将数组列在一个表中并对列分别进行插入排序，重复这过程，不过每次用更长的列（步长更长了，列数更少了）来进行。最后整个表就只有一列了。将数组转换至表是为了更好地理解这算法，算法本身还是使用数组进行排序。

例如，假设有这样一组数[ 13 14 94 33 82 25 59 94 65 23 45 27 73 25 39 10 ]，如果我们以步长为5开始进行排序，我们可以通过将这列表放在有5列的表中来更好地描述算法，这样他们就应该看起来是这样(竖着的元素是步长组成)：

13 14 94 33 82
25 59 94 65 23
45 27 73 25 39
10

然后我们对每列进行排序：

10 14 73 25 23
13 27 94 33 39
25 59 94 65 82
45

将上述四行数字，依序接在一起时我们得到：[ 10 14 73 25 23 13 27 94 33 39 25 59 94 65 82 45 ]。这时10已经移至正确位置了，然后再以3为步长进行排序：

10 14 73
25 23 13
27 94 33
39 25 59
94 65 82
45

排序之后变为：

10 14 13
25 23 33
27 25 59
39 65 73
45 94 82
94

最后以1步长进行排序（此时就是简单的插入排序了）

希尔排序的分析

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Spyder Editor

This is a temporary script file.
"""
def shell_sort(alist):
    """希尔排序"""
    n = len(alist)
    # 初始步长
    gap = n // 2 #取整
    while gap > 0:
        # 按步长进行插入排序
        #从gap开始第一个表进行插入排,再加1第二个表进行排.一直循环到上下所有的表第一次排序完成
        #利用for循环就可以对竖线后面的元素与前面的元素全部操作一遍插入排序
        for i in range(gap, n):   
            j = i
            # 插入排序
            while j>=gap and alist[j-gap] > alist[j]:
                alist[j-gap], alist[j] = alist[j], alist[j-gap]
                j -= gap   #使用这个while循环就跟插入排序是一样的,第三个元素要跟第二个和第一个比较两次,因此使用while控制
        # 得到新的步长(缩短gap的步长)
        gap = gap // 2  #每次都是除以2(最后1//2=0)




alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
print("未排序的列表: ",alist)
shell_sort(alist)
print("插入排序好的列表: ",alist)

执行结果:

未排序的列表:  [54, 26, 93, 17, 77, 31, 44, 55, 20]
插入排序好的列表:  [17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]

时间复杂度

• 最优时间复杂度：根据步长序列的不同而不同
• 最坏时间复杂度：O(n²)
• 稳定想：不稳定

希尔排序演示

快速排序

快速排序（英语：Quicksort），又称划分交换排序（partition-exchange sort），通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

步骤为：

1. 从数列中挑出一个元素，称为"基准"（pivot），
2. 重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区结束之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作。
3. 递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。

递归的最底部情形，是数列的大小是零或一，也就是永远都已经被排序好了。虽然一直递归下去，但是这个算法总会结束，因为在每次的迭代（iteration）中，它至少会把一个元素摆到它最后的位置去。

快速排序的分析

def quick_sort(alist, start, end):
    """快速排序"""

    # 递归的退出条件
    if start >= end:
        return

    # 设定起始元素为要寻找位置的基准元素
    mid = alist[start]

    # low为序列左边的由左向右移动的游标
    low = start

    # high为序列右边的由右向左移动的游标
    high = end

    while low < high:
        # 如果low与high未重合，high指向的元素不比基准元素小，则high向左移动
        while low < high and alist[high] >= mid:
            high -= 1
        # 将high指向的元素放到low的位置上
        alist[low] = alist[high]

        # 如果low与high未重合，low指向的元素比基准元素小，则low向右移动
        while low < high and alist[low] < mid:
            low += 1
        # 将low指向的元素放到high的位置上
        alist[high] = alist[low]

    # 退出循环后，low与high重合，此时所指位置为基准元素的正确位置
    # 将基准元素放到该位置
    alist[low] = mid

    # 对基准元素左边的子序列进行快速排序
    quick_sort(alist, start, low-1)

    # 对基准元素右边的子序列进行快速排序
    quick_sort(alist, low+1, end)

alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
quick_sort(alist,0,len(alist)-1)
print(alist)

时间复杂度

• 最优时间复杂度：O(nlogn) 横向是n,竖向是logn
• 最坏时间复杂度：O(n²)
• 稳定性：不稳定

从一开始快速排序平均需要花费O(n log n)时间的描述并不明显。但是不难观察到的是分区运算，数组的元素都会在每次循环中走访过一次，使用O(n)的时间。在使用结合（concatenation）的版本中，这项运算也是O(n)。

在最好的情况，每次我们运行一次分区，我们会把一个数列分为两个几近相等的片段。这个意思就是每次递归调用处理一半大小的数列。因此，在到达大小为一的数列前，我们只要作log n次嵌套的调用。这个意思就是调用树的深度是O(log n)。但是在同一层次结构的两个程序调用中，不会处理到原来数列的相同部分；因此，程序调用的每一层次结构总共全部仅需要O(n)的时间（每个调用有某些共同的额外耗费，但是因为在每一层次结构仅仅只有O(n)个调用，这些被归纳在O(n)系数中）。结果是这个算法仅需使用O(n log n)时间。

快速排序演示

归并排序

归并排序是采用分治法的一个非常典型的应用。归并排序的思想就是先递归分解数组，再合并数组。

将数组分解最小之后，然后合并两个有序数组，基本思路是比较两个数组的最前面的数，谁小就先取谁，取了后相应的指针就往后移一位。然后再比较，直至一个数组为空，最后把另一个数组的剩余部分复制过来即可。

归并排序的分析

def merge_sort(alist):  
    if len(alist) <= 1:  #如果传进来的列表长度小于1就结束递归,直接返回alist
        return alist
    # 二分分解
    num = len(alist)//2   #得到的是中间位置的坐标
    left = merge_sort(alist[:num])  #将列表分成两部分,递归拆分
    right = merge_sort(alist[num:])  #这里不管中间的过程,一定是会返回左边一个有序的列表,右边返回一个排序好的整体
    # 合并  (然后将这两个有序的列表进行合并)
    return merge(left,right)

def merge(left, right):
    '''合并操作，将两个有序数组left[]和right[]合并成一个大的有序数组'''
    #left与right的下标指针
    l, r = 0, 0
    result = []
    while l<len(left) and r<len(right):
        if left[l] < right[r]:
            result.append(left[l])
            l += 1
        else:
            result.append(right[r])
            r += 1
    result += left[l:]   #退出循环说明有一个指针走完了,那么就把另一部分剩余的添加进去
    result += right[r:]  #这两个天剑只会添加一个,谁后走完谁添加
    return result

alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
sorted_alist = merge_sort(alist)
print(sorted_alist)

时间复杂度

• 最优时间复杂度：O(nlogn)
• 最坏时间复杂度：O(nlogn)
• 稳定性：稳定
• 额外的空间开销

常见排序算法效率比较

搜索

搜索是在一个项目集合中找到一个特定项目的算法过程。搜索通常的答案是真的或假的，因为该项目是否存在。 搜索的几种常见方法：顺序查找、二分法查找、二叉树查找、哈希查找

二分法查找

二分查找又称折半查找，优点是比较次数少，查找速度快，平均性能好；其缺点是要求待查表为有序表，且插入删除困难。因此，折半查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。

二分法查找实现

（非递归实现）

    first = 0  #起始位置指针
    last = len(alist)-1  #结束位置的指针
    while first <= last:  #结束的条件,一是返回了查找到,否则当这两个值不满足这个条件时,就说明查找不到了,就返回False
        midpoint = (first + last)//2  #中间位置 #这里需要的是圆整
        if alist[midpoint] == item:  #如果跟中间值相等意味着查找到,就返回True
            return True
        elif item < alist[midpoint]:  #如果这个值比中间值小,就缩小搜索范围的到左边
            last = midpoint-1  #中间的不相等就剔除,那么就把结束位置的指针放到中间元素的前一个位置
        else:
            first = midpoint+1
    return False
testlist = [0, 1, 2, 8, 13, 17, 19, 32, 42,]
print(binary_search(testlist, 3))
print(binary_search(testlist, 13))

（递归实现）

def binary_search(alist, item):  #传入的是两个数据,一个是待查找的列表,一个是需要查找的数
    if len(alist) == 0:  #最终什么也没有查找到,就返回一个False
        return False
    else:
        midpoint = len(alist)//2 #这个是新的传入列表的中间值

        if alist[midpoint]==item:  #如果这个中间值跟需要查找的数相等就代表查找到了就返回True
          return True
        else:   
          if item<alist[midpoint]:#否则的话如果这个待查找的值小于中间值中间,就递归查找左边部分
            return binary_search(alist[:midpoint],item)
          else:
            return binary_search(alist[midpoint+1:],item)  #中间值不等于就直接剔除掉

testlist = [0, 1, 2, 8, 13, 17, 19, 32, 42,]
print(binary_search(testlist, 3))
print(binary_search(testlist, 13))

时间复杂度

• 最优时间复杂度：O(1)
• 最坏时间复杂度：O(logn)